Na pesquisa de dissertação deste autor, a avaliação escolar foi apresentada como oportunidade de aprendizagem. Nesta tese, dando continuidade ao trabalho, pretende-se ampliar essa perspectiva da avaliação e apresentá-la como fio condutor da prática pedagógica. Optou-se por uma pesquisa de caráter qualitativo, de cunho especulativo por se constituir em uma obra da produção de enunciados teóricos sobre outros enunciados teóricos. Todas as ações realizadas no processo de ensino e aprendizagem que contém o processo da avaliação formativa visam à aprendizagem. A avaliação formativa é um processo contínuo desenvolvido durante todo o período letivo, que se inicia com o planejamento das primeiras tarefas e vai até a análise da última ação de regulação. Como tem o mesmo principal objetivo, proporcionar a aprendizagem dos alunos, pode, a partir da sua essência, conduzir as práticas em sala de aula.

Este trabalho apresenta uma investigação, segundo a perspectiva fenomenológica, da questão: como os estudantes aprendem geometria em práticas de Modelagem Matemática? Para responder a esta questão, foram desenvolvidas três práticas de Modelagem Matemática com estudantes do 7º do Ensino Fundamental de uma escola pública de Londrina. Essas práticas foram filmadas e relatos escritos, dizendo como perceberam sua aprendizagem, também foram produzidos pelos estudantes. Esses dois tipos de registros, filmagens e relatos, foram organizados, respectivamente, em Cenas Significativas e em Unidades de Discurso, os quais, mediante reduções sucessivas, convergiram para 12 invariantes: Momentos Significativos, Percepções do Início da Aprendizagem, Aspectos Contextuais da Prática de MM, Razões que Sustentam a Aprendizagem, Obstáculos e Dificuldades, Investigação e Aprendizagem, Percepções do Eu, Participação do Outro, O Professor e o Ensino, Modos de Expressar Compreensões, Percepções da Geometria na Prática de MM, Percepções Acerca do Tema Investigado. Em mais uma redução, esses 12 invariantes convergiram para 4 Núcleos de Ideias que respondem à interrogação de pesquisa. Esses Núcleos, que dizem dos modos como a aprendizagem da geometria se dá em práticas de Modelagem Matemática, são: Temporalidade e Constituição da Aprendizagem; Modos de Proceder e Abertura à Aprendizagem; Vivência da Relação Eu/Outro/Nós na Aprendizagem e Vivência da Relação Geometria/Tema na Aprendizagem.

Esta pesquisa tem como objetivo investigar o que os signos interpretantes produzidos ou utilizados em atividades de modelagem matemática nos permitem inferir com relação ao conhecimento matemático dos estudantes. Nossa investigação está pautada em pressupostos teóricos da Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática e nos pressupostos da Semiótica Peirceana, mais especificamente, no que diz respeito à teoria dos interpretantes. Com o intuito de alcançar o objetivo proposto desenvolvemos com alunos do 2º ano do curso de Licenciatura em Matemática na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I de uma universidade pública do estado do Paraná uma sequência de atividades de modelagem matemática. As atividades foram desenvolvidas seguindo o esquema padrão propostos por Lesh et al. (2003) para sequências de atividades de modelagem matemática. A análise dos dados foi inspirada na Análise Textual Discursiva baseada, principalmente, nas indicações de Moraes e Galiazzi (2007). Para a análise dos dados, três categorias foram consideradas: nível significante imediato em uma sequência de atividades de modelagem matemática; nível significante dinâmico em uma sequência de atividades de modelagem matemática; nível significante final em uma sequência de atividades de modelagem matemática. Com a análise, ficou evidenciado que no desenvolvimento de uma sequência de atividades de modelagem matemática momentos de exploração e aplicação de modelos são propiciados. A análise nos permite inferir também que uma sequência de atividades de modelagem matemática possibilita a organização e a elaboração de signos de tal maneira que é possível ter acesso, mesmo que indiretamente, àquilo que o estudante está construindo em sala de aula no que diz respeito ao conhecimento matemático.

Este estudo teve como objetivo investigar os procedimentos metodológicos empregados pelos participantes do GEPEMA que utilizaram a análise da produção escrita como prática de investigação. Para isso, utilizaram-se os modelos emergentes como heurística, em que cada conjunto de procedimentos metodológicos, dos dezenove trabalhos estudados, foi tomado como um “modelo de”, específico àquele contexto de pesquisa e, por meio de um processo de refinamento, obtiveram-se elementos mais gerais, para um provável “modelo para”. No estudo, foram inventariadas cento e uma etapas diferentes, identificadas nos capítulos referentes aos procedimentos metodológicos dos dezenove trabalhos. As etapas que possuíam aspectos em comum foram agrupadas, e cada agrupamento analisado. Também foram analisadas, separadamente, as etapas não agrupadas. Nesse processo, obtiveram-se sete agrupamentos (obtenção dos protocolos de pesquisa; aplicação de questionários; leitura das produções escritas; correção de provas; descrição das resoluções, dos procedimentos ou das respostas; elaboração de agrupamentos e análise e interpretação) e duas etapas (elaboração da prova, com escolha das questões e, codificação das provas), que foram utilizados em, no mínimo, onze trabalhos, e fornecem indícios de um possível “modelo para”.

Esta tese, de natureza qualitativa, está inserida no contexto da formação inicial de professores de matemática, mais especificamente na formação matemática desses professores. Pautados em pesquisas que discutem e evidenciam o distanciamento entre a matemática veiculada na Licenciatura em Matemática e a matemática da prática docente na Educação Básica, realizamos uma investigação que procura debater possibilidades de aproximações entre essas matemáticas, com vistas a favorecer o desenvolvimento do conhecimento profissional docente. Para tanto, focamos nossa atenção nos números racionais, um conceito primordial para o trabalho do professor na escola e que, em geral, nos cursos de Licenciatura em Matemática recebe um tratamento que se mostra pouco conectado com a prática do professor, sendo visto como um corpo, o corpo dos números racionais. Diante disso, a presente tese tem como objetivo investigar e propor fundamentos teórico-metodológicos para o ensino do corpo dos números racionais em cursos de Licenciatura em Matemática. Tomamos como base teórica para esta pesquisa a diferenciação entre Matemática Acadêmica e Matemática Escolar, tal como proposta por Plínio Moreira e Maria Manuela David, a abordagem dos Perfis Conceituais, de Eduardo Mortimer e colaboradores, e a noção de Conhecimento do Conteúdo no Horizonte, no sentido de Arne Jakobsen, Mark Thames e Miguel Ribeiro. Em um primeiro momento, por meio de um exercício teórico que buscou relacionar os referenciais que nos fundamentam, construímos uma caracterização para a matemática na formação do professor, dando-nos uma sustentação necessária para prosseguir com nossa investigação. Em um segundo momento, realizamos a produção e análise de dados oriundos de diferentes fontes: livros didáticos destinados ao Ensino Fundamental e outros ao Ensino Superior, entrevistas com professores da Educação Básica e com professores formadores, análises de pesquisas no âmbito da Educação Matemática que discutissem os números racionais, tanto na perspectiva da Matemática Escolar, como da Matemática Acadêmica e, por fim, análises de documentos curriculares oficiais que orientam o ensino de matemática nas escolas e nos cursos de formação de professores. Dessas análises, produzimos 31 Reflexões, que são produtos de nossas interpretações dos dados e que nos possibilitaram maior entendimento sobre o objeto de pesquisa. Essas Reflexões, junto a um estudo conceitual dos números racionais baseado nos subconstrutos de Thomas Kieren e um estudo sobre o desenvolvimento histórico desses números, baseado em fontes secundárias da história da matemática, convergiram para o terceiro momento da pesquisa, a organização de diferentes temas a partir dos quais os números racionais podem ser significados. Tal organização deu-se por uma ferramenta metodológica da abordagem dos perfis conceituais, chamada Matriz Epistemológica. Um quarto momento refere-se ao aspecto propositivo da pesquisa. Após os entendimentos proporcionados pelos três momentos anteriores, construímos uma sequência de três tarefas que indica possibilidades para o ensino do corpo dos números racionais na Licenciatura em Matemática. Por fim, apresentamos uma compreensão para os fundamentos teórico-metodológicos para o ensino do corpo dos números racionais na formação de professores, propondo que os números racionais sejam tomados como foco de ensino, não como um exemplo da estrutura algébrica corpo.

Nessa pesquisa buscamos investigar, sob uma perspectiva wittgensteiniana, o uso da linguagem e de procedimentos matemáticos em atividades de modelagem matemática. O estudo está fundamentado na Modelagem Matemática na Educação Matemática e tem como base filosófica os estudos de Ludwig Wittgenstein sobre linguagem e matemática. Para compor os dados empíricos da pesquisa, atividades de modelagem matemática foram desenvolvidas por alunos de um curso de Licenciatura em Matemática nas disciplinas de Equações Diferenciais Ordinárias e de Introdução à Modelagem Matemática. O desenvolvimento da pesquisa, a coleta de dados e o encaminhamento da análise fundamentam a metodologia de pesquisa como qualitativa. Os dados foram coletados por meio de registros escritos, gravações em áudio e vídeo, questionários e entrevistas. A análise dos dados, coletados com treze alunos no desenvolvimento de onze atividades de modelagem matemática, tem como suporte a metodologia de análise de dados que considera o uso da linguagem e as práticas discursivas dos alunos engajados nas atividades de modelagem matemática. No desenvolvimento das atividades de modelagem matemática a linguagem em uso é analisada e árvores de associação de ideias e linhas narrativas são os recursos analíticos que apresentam os resultados para a investigação. A partir da pesquisa empírica por meio de análises específicas investigamos os usos da linguagem e dos procedimentos matemáticos utilizados nas atividades de modelagem matemática, ou seja, equações diferenciais de primeira ordem, equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e o recurso ao ajuste de curvas. Com base nas análises específicas, o cruzamento com as teorias de base nos permitiram definir três categorias a posteriori, às quais detalham, com base na perspectiva wittgensteiniana, a natureza das justificativas e proposições utilizadas em atividades de modelagem matemática, o uso de regras nas atividades de modelagem matemática e a ocorrência da formação de conceitos matemáticos no desenvolvimento das atividades de modelagem matemática.

Este trabalho apresenta narrativas cuja fonte foram aulas ministradas semanalmente em uma turma do 3º ano de um curso técnico do Ensino Médio, com 22 alunos, durante o primeiro semestre do ano de 2013, em uma escola de um município situado no noroeste do Paraná. O principal objetivo foi conhecer aspectos da minha prática letiva na qual pensei atender os princípios e ideias da abordagem Educação Matemática Realística, entre eles, a Matemática como atividade humana, a aprendizagem Matemática por meio da matematização, o ensino e a aprendizagem por meio da Reinvenção Guiada. Analisando minha prática narrada nesta investigação percebo a grande dificuldade que ainda tenho de esperar o aluno pensar, construir estratégias e procedimentos por ele mesmo. Entendi que os princípios e pressupostos da RME vão além do planejar bem as aulas uma vez que estão na ação do professor, na prática docente, na ação do aluno, na dinâmica das aulas. A matemática como atividade humana faz parte da concepção de ensino da matemática do professor que se dispõe a trabalhar nessa perspectiva.

A questão que norteou a presente investigação foi: Que elementos de um contexto de formação continuada possibilitam o desenvolvimento profissional de professores de Matemática a partir da exploração de um caso multimídia, com foco na fase de discussão coletiva de uma aula na perspectiva do Ensino Exploratório? Para responder a essa pergunta estabelecemos os seguintes objetivos: descrever alguns trechos de episódios do empreendimento exploração do caso multimídia “Plano de Telefonia” em uma Comunidade de Prática denominada CoP- ProfMARE; e analisar produções escritas e discussões realizadas na CoP-ProfMARE relacionadas à fase de discussão coletiva da tarefa referente ao caso multimídia “Plano de Telefonia”. Para as análises tomamos como perspectiva teórica os objetivos para o desenvolvimento profissional do professor que ensina Matemática, propostos por Sowder (2007) e as dimensões do que consiste interpretar e reconhecer interações em sala de aula (VAN ES; SHERIN, 2002; 2008) e classificamos os dados de acordo com essas perspectivas. A partir dessa classificação, destacamos os elementos do contexto que possibilitaram o desenvolvimento profissional dos membros da CoP-ProfMARE, nomeadamente: relatar experiências; discutir perspectivas de ensino alternativas ao ensino diretivo, em específico o Ensino Exploratório; utilizar aspectos de sua experiência para lidar com os desafios da/na prática em sala de aula; discutir aspectos da dinâmica da aula, do papel do professor, do planejamento e da avaliação na perspectiva do Ensino Exploratório; resolver tarefas; discutir conteúdos matemáticos; levantar hipóteses acerca das dificuldades e dos erros dos alunos; discutir dificuldades dos alunos no trabalho com perspectivas alternativas ao ensino diretivo e como superá-las; e socializar opiniões. A liberdade que as professoras tiveram em compartilhar experiências, em apresentar dúvidas, questões e desafios de sua prática para serem discutidas na CoP, em propor novos empreendimentos, e a confiança que elas depositaram em todos os membros da CoP, foram aspectos marcantes para o desenvolvimento profissional dos envolvidos nesse processo de formação.

O objetivo deste trabalho, que constitui em uma pesquisa qualitativa, é verificar tarefas desenvolvidas por estudantes do curso de licenciatura em matemática com a intenção de identificar os processos do Pensamento Matemático Avançado (PMA) em relação à Teoria de Conjuntos. Utilizamos Dreyfus (2002) como referencial teórico e apresentamos um breve histórico da Teoria de Conjuntos. Foram participantes da pesquisa 20 estudantes do segundo ano de Matemática, habilitação: Licenciatura, que resolveram tarefas a eles propostas. Foi possível observar características dos processos envolvidos no PMA nas produções escritas dos estudantes, tais como modelação, comutação de representações e tradução, processos de representação, síntese e generalização. Além disso, analisar quais e quantos processos cada estudante possui a respeito da Teoria de Conjuntos. Concluímos que todos os estudantes apresentaram ao menos uma característica dos processos do PMA, nove estudantes evidenciaram somente as características envolvidas no processo de Representação, cinco apresentaram apenas as características dos processos de Abstração e dois apresentaram características de todos os processos do PMA.

O uso da modelagem matemática como uma alternativa pedagógica para o ensino e a aprendizagem de matemática oferece aos alunos e professores a oportunidade de promover discussões e reflexões acerca de conceitos matemáticos a partir de seus usos na interpretação, análise e investigação de problemas provenientes de situações reais. Contudo, o uso da modelagem matemática parece ser ainda pouco explorado nas práticas associadas aos anos iniciais do Ensino Fundamental, deixando muitas questões em aberto com relação ao seu desenvolvimento. Nosso interesse é investigar o desenvolvimento de atividades de modelagem matemática, especificamente, que configurações elas podem assumir quando desenvolvidas por alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental? Assim, estamos interessados em olhar para como alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental realizam ações características do procedimento que envolve o desenvolvimento de atividades de modelagem matemática. Para esse olhar tomamos como ponto de partida as fases de uma atividade de modelagem matemática caracterizadas em Almeida, Silva e Vertuan (2012). Para isso, propomos a 5 turmas dos anos iniciais do Ensino Fundamental, 1º ao 5º ano, o desenvolvimento de atividades de modelagem matemática, que foi por nós observado e registrado. Os dados que constituem nossa pesquisa consistem nos diálogos e registros produzidos pelos alunos durante as atividades de modelagem e foram coletados por meio de áudio, vídeo, imagens e diário de campo do professor/pesquisador. Empreendemos sobre os dados uma análise qualitativa, fundamentados nos pressupostos e indicações da Análise de Conteúdo e embasados na literatura a respeito da modelagem matemática e nas considerações filosóficas de Ludwig Wittgenstein a respeito da linguagem. Os resultados indicam três configurações do desenvolvimento de atividades de modelagem matemática. Essas configurações revelam especificidades relativas aos usos da linguagem, ao modo como os alunos lidam com os símbolos matemáticos, à caracterização do modelo matemático e à definição de temas de interesse em cada ano desse nível de escolaridade. Levando em consideração essas configurações, refletimos a respeito da identidade do fazer modelagem matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental.