Teorias topológicas de Chern-Simons em 2+1 dimensões espaço-temporais, possuem uma série de propriedades peculiares que, além de seu interesse intrínseco como uma teoria quântica dos campos, possuem desdobramentos importantes em física da matéria condensada e em matemática. Uma das características mais notáveis é a chamada holografia, em que os graus de liberdade físicos residem somente nas bordas da variedade sobre a qual a teoria é definida. Isso proporciona uma relação entre a física do interior e a física da borda, denominada correspondência bulk-edge. O objetivo principal é investigar a correspondência bulk-edge em teorias de Chern-Simons abeliana com vínculo de supersimetria N = 1 e N = 2.

Esse trabalho é dedicado ao estudo do efeito Hall quântico e suas fases topológicas, caracterizadas pelas filling fraction do sistema. Inicialmente são apresentados os aspectos para a quantização do sistema Hall, que inclui o espectro de energia e a função de onda. Análises dos operadores de translações magnéticas e o sistema com bordas físicas são realizadas. Em seguida, são descritas duas abordagens para o efeito Hall quântico fracionário. A primeira, apresentada por uma teoria para o estado fundamental do sistema, descrita pela função de onda de Laughlin, com excitações dadas por quase-partículas e quase-buracos, de carga e estatística fracionária. Na segunda abordagem discutimos teorias efetivas em baixas energias, no qual resulta em uma teoria de calibre de Chern-Simons. Nesse método são estudadas propriedades descritas pelo Chern-Simons correspondente ao efeito Hall, com ênfase nos aspectos topológicos. Além disso, são discutidos teorias de campos que descrevem os estados de borda e como é estabelecida a correspondência entre o bulk e a borda.

Neste trabalho, estudamos como aplicar bosonização ao efeito Hall quântico. A bosonização consiste em descrever uma teoria quântica de campos de férmions em termos de bósons. Pro- vamos que os sistemas bosonizado e original levam às mesmas funções de correlação, com- provando o sucesso da técnica. Estudamos alguns sistemas, como o modelo de Thirring e o modelo de Schwinger, que podem se tornar mais fáceis de resolver após o uso da bosoniza- ção. Em seguida, prosseguimos com o estudo do efeito Hall quântico, caracterizado por valores quantizados da condutância de Hall os quais não são esperados pela teoria clássica. Utilizamos a abordagem microscópica e a abordagem efetiva, descrita pela teoria de Chern-Simons, para estudar o efeito Hall quântico inteiro e o efeito Hall quântico fracionário. Em seguida, des- crevemos o sistema Hall como uma matriz de fios quânticos sem spin em 1 + 1 dimensões e aplicamos bosonização no modelo. Observamos que o sistema bosonizado captura a física do efeito Hall quântico, bem como as características topológicas da teoria de Chern-Simons, o que leva a uma conexão direta entre os fios quânticos e a abordagem efetiva. Essa conexão gera um vínculo entre os graus de liberdade microscópicos e a teoria efetiva.