Investigações físicas de sistemas fortemente acoplados podem ser extremamente desafiadoras, essencialmente porque a teoria de perturbação falha em ser uma boa técnica em regimes onde as constantes de acoplamento são grandes. Este é um problema muito relevante, uma vez que existem objetos que apresentam grandes interações em regimes específicos, por exemplo, a física da Cromodinâmica Quântica, os Líquidos de Hall Quânticos, os Líquidos de Spin Quânticos e assim por diante. O objetivo do trabalho atual é investigar e compreender as dualidades da teoria quântica de campos abeliana bidimensional e tridimensional. Essas relações de dualidade não perturbativas podem fornecer ferramentas para estudar tais objetos de interesse. Realizamos este estudo argumentando a veracidade dessas dualidades em duas abordagens: a abordagem macroscópica e a abordagem dos fios quânticos. Na abordagem macroscópica, comparamos as fases macroscópicas das teorias, as simetrias globais e o padrão espontâneo de quebra de simetria das teorias. Na abordagem dos fios quânticos, comparamos as teorias mapeando precisamente uma teoria em outra, entendendo as teorias como sendo composições de vários fios quânticos bidimensionais. Essa última abordagem também nos permite usar técnicas bem compreendidas de bosonização 2D e teoria de campo conforme.

Esse trabalho é dedicado ao estudo do efeito Hall quântico e suas fases topológicas, caracterizadas pelas filling fraction do sistema. Inicialmente são apresentados os aspectos para a quantização do sistema Hall, que inclui o espectro de energia e a função de onda. Análises dos operadores de translações magnéticas e o sistema com bordas físicas são realizadas. Em seguida, são descritas duas abordagens para o efeito Hall quântico fracionário. A primeira, apresentada por uma teoria para o estado fundamental do sistema, descrita pela função de onda de Laughlin, com excitações dadas por quase-partículas e quase-buracos, de carga e estatística fracionária. Na segunda abordagem discutimos teorias efetivas em baixas energias, no qual resulta em uma teoria de calibre de Chern-Simons. Nesse método são estudadas propriedades descritas pelo Chern-Simons correspondente ao efeito Hall, com ênfase nos aspectos topológicos. Além disso, são discutidos teorias de campos que descrevem os estados de borda e como é estabelecida a correspondência entre o bulk e a borda.