A descrição da elasticidade dos cristais líquidos nemáticos uniaxiais pela teoria do contínuo é feita pela energia livre de Frank. Nesta tese será mostrado que alguns de seus termos podem ser determinados pelo escalar de curvatura de Ricci associada à variedade diferencial determinada pelo campo diretor da amostra. O resultado foi obtido partindo de um modelo geométrico onde uma métrica foi construída para descrever a anisotropia observada nas medidas físicas e, a partir dessa métrica, obtém-se o tensor de curvatura e o escalar de curvatura de Ricci, 𝑅. Através de uma comparação de 𝑅 com a energia livre de Frank, a energia elástica livre será expressa em duas partes, uma contendo os termos de twist, saddle-splay e splay- bend, que podem ser expressados em termos de 𝑅 e outra contendo os termos de splay e bend que não estão contidos em 𝑅. Será mostrado também que os termos de splay e bend não aparecem em 𝑅 porque suas geometrias são intrinsecamente planas, ou seja, de curvatura nula.

O estudo de possíveis deformações em uma amostra de cristal líquido nos fornece infor- mação muito atraente para a análise do mesmo. Quando essa superfície da amostra é distorcida mostra que sua curvatura intrínseca R é não nula e por conseguinte seu energia livre é não nula também. Os resultados obtidos pela curvatura intrínseca R nos gera so- luções importantes que ajudam na interpretação da física na superfície da amostra, mas precisamos conhecer toda a informação que está contida no sistema, i, e., a contribuição da curvatura extrínseca G. É proposto um modelo em onde a energia livre de Frank é calculada a parir das iterações das distorções dos parâmetros de ordem nas vizinhanças das moléculas mesógenas. Para atingir o objetivo, consideramos uma função F (r, x, z), onde r é a posição da molécula mesógena em um ponto inicial no bulk, x a distância entre as moléculas e z está definida como uma contração total dos parâmetros de ordem Q ij (r) com Q ij (r + x), e que é independente do sistema de referência. Resulta dessa análise uma discussão que coloca em evidência a interpretação geométrica dos termos elásticos k 11 , k 22 e k 33 . Além disso, encontramos outro resultado interessante, que é o termo twist, cujo vínculo é associado com os tipos de curvaturas que determinam a superfície da amostra. Concluindo desta forma que os termos identificados são os correspondentes à curvatura extrínseca G.