Investigações físicas de sistemas fortemente acoplados podem ser extremamente desafiadoras, essencialmente porque a teoria de perturbação falha em ser uma boa técnica em regimes onde as constantes de acoplamento são grandes. Este é um problema muito relevante, uma vez que existem objetos que apresentam grandes interações em regimes específicos, por exemplo, a física da Cromodinâmica Quântica, os Líquidos de Hall Quânticos, os Líquidos de Spin Quânticos e assim por diante. O objetivo do trabalho atual é investigar e compreender as dualidades da teoria quântica de campos abeliana bidimensional e tridimensional. Essas relações de dualidade não perturbativas podem fornecer ferramentas para estudar tais objetos de interesse. Realizamos este estudo argumentando a veracidade dessas dualidades em duas abordagens: a abordagem macroscópica e a abordagem dos fios quânticos. Na abordagem macroscópica, comparamos as fases macroscópicas das teorias, as simetrias globais e o padrão espontâneo de quebra de simetria das teorias. Na abordagem dos fios quânticos, comparamos as teorias mapeando precisamente uma teoria em outra, entendendo as teorias como sendo composições de vários fios quânticos bidimensionais. Essa última abordagem também nos permite usar técnicas bem compreendidas de bosonização 2D e teoria de campo conforme.

Neste trabalho analisamos a dualidade entre o limite de baixas energias do modelo de Thirring e a teoria de Maxwell-Chern-Simons. Isto é feito introduzindo um campo vetorial que elimina a interação quártica de Thirring e integrando os graus de liberdade fermiônicos. Também in- vestigamos uma série de dualidades, que podem ser obtidas a partir de operações simples na dualidade de bosonização mestre. Com este método obtemos outra dualidade bóson-férmion e duas dualidades partícula-vórtice, uma para bósons e outra para férmions. Também discutimos uma maneira de obter dualidades massivas a partir da dualidade mestre.

Neste trabalho, estudamos como aplicar bosonização ao efeito Hall quântico. A bosonização consiste em descrever uma teoria quântica de campos de férmions em termos de bósons. Pro- vamos que os sistemas bosonizado e original levam às mesmas funções de correlação, com- provando o sucesso da técnica. Estudamos alguns sistemas, como o modelo de Thirring e o modelo de Schwinger, que podem se tornar mais fáceis de resolver após o uso da bosoniza- ção. Em seguida, prosseguimos com o estudo do efeito Hall quântico, caracterizado por valores quantizados da condutância de Hall os quais não são esperados pela teoria clássica. Utilizamos a abordagem microscópica e a abordagem efetiva, descrita pela teoria de Chern-Simons, para estudar o efeito Hall quântico inteiro e o efeito Hall quântico fracionário. Em seguida, des- crevemos o sistema Hall como uma matriz de fios quânticos sem spin em 1 + 1 dimensões e aplicamos bosonização no modelo. Observamos que o sistema bosonizado captura a física do efeito Hall quântico, bem como as características topológicas da teoria de Chern-Simons, o que leva a uma conexão direta entre os fios quânticos e a abordagem efetiva. Essa conexão gera um vínculo entre os graus de liberdade microscópicos e a teoria efetiva.